Does the sun really revolve around the earth?

Does the sun really revolve around the earth?

          Thamalu M. Piyadigama 

         http://www.dailymirror.lk/article/Does-the-Earth-really-revolve-round-the-Sun-Is-there-proof-of-what-all-of-us-learned-from-primary-school--144169.html

There are several things we learn from primary school in our young age that are almost taken for granted without much questioning. The most amazing things out of those are that the earth is a globe and that the sun does not rotate around the earth but it is the earth which rotates around the sun. These two ideas are the initial persuasion that makes us believe in science over everything else - our own experience, religion, etc.  

Today most of the people believe that the earth rotates round the sun and take it to be an unbreakable absolute truth; a fact. “Earth goes around the sun. It’s generally accepted, scientifically proved and observed.” This is the attitude of the majority of the population. This is where our fundamental education has directed us to. We have no doubt that the earth goes around the sun.  

Hereby, I like to question you. What was the evidence they provided you to make you believe this idea? Remember. Remember the time you were in grade one. What was the evidence given? Our teachers gave us a lot of evidence to support that the earth is a globe. However, during our entire school career, we were not provided with any evidence by out teachers to the claim that the earth goes around the sun. It is just stated and taken for granted. What a pity. The strongest of beliefs people get from elementary science education is persuaded with no evidence at all. This is in contrast to how the educated people usually denounce the religious for believing in invisible gods without ‘sensory’ evidence. Can we say that the educated differ from those who believe in gods without providing sensory evidence?  

Domination of Western science in education and all spheres of modern life have made it the newest religion. Someone can argue that there are structural differences between Western Science and religions. Here, I do not want to go that far. However, there is a term, you may have heard that goes as ‘science in popular culture’. I reckon science in popular culture is completely a religion. Primary and secondary education, popular books, TV programmes and science fiction are some elements of science in popular culture. It does not consist of experimentation or mathematics in deep. When we consider the Sri Lankan situation most of the ‘educated’ people in media are only dealing with this popular culture. In this popular culture, the way that scientific ideas are persuaded upon the general public is not through reasoning. It is done through just institutional domination, marketing strategies and psychological tricks. Therefore, most of thoes who disbelieve in supernatural phenomena for the sake of science only does so because it is against the ‘new religion’ they are following.  

It’s time to get back to the topic. Does the earth really rotate around the sun? Here the most important word in the above statement is ‘really’. When we say the sun does not go around the earth, it means that what we observe every day is just an illusion. What we observe is dependent on how we move. Therefore, when we consider a set of observers looking at a moving object they may observe different motions. Then, all these motions cannot be the ‘real’ motion. If there exits any real motion, only one of those observations can be correct. Others are just illusions. We, who live on the earth sees the sun going around the earth while an observer on the sun see the earth going around the sun. Different observers may see different motions. The problem is, out of these motions which one is the ‘real’ motion.  

 Newton tried to answer this question. He said real motion is the motion with respect to empty space. In other words, the empty space is in absolute rest. Therefore ‘real’ motion is the motion with respect to the empty space. When you hear this idea you will feel that finally Newton successfully solved the problem of what would be the real motion. We, at first glance, tend to think Newton is correct and that the empty space is in absolute rest. But when we carefully analyze, we see that Newton’s argument is wrong. Think that you are moving with respect to empty space. Then the empty space should move with respect to you in the opposite direction. What! Empty space moves. There is nothing in the empty space to move. Therefore empty space can neither move nor be in rest in the ordinary sense. There is nothing called moving with respect to an empty space. This argument, originally made by the acclaimed Austrian physicist and philosopher Ernst Mach debunked Newton and his physics. Later Albert Einstein constructed his physics saying that there is no absolute motion. In other words there is no any ‘real motion’. Every observer is equal.  

According to Einstein’s theory the sun going around the earth and the earth going around the sun are two observations. None is more real, more correct or more preferable over the other. This quote is from one of  Einstein’s books.  

“The struggle, so violent in the early days of science, between the views of Ptolemy and Copernicus would then be quite meaningless. Either C.S. (Coordinate System) could be used with equal justification.

(The Evolution of Physics - A. Einstein, L. Infeld page 224)”

Here Ptolemy’s idea was that the sun goes around the earth while Copernicus said the earth goes around the sun.  

Therefore the two ideas; the sun going around earth and the earth going around the sun are just two observations. None is better than the other.

       - Thamalu Maliththa Piyadigama 

Srinivasa Ramanujan : Mathematical genious and the supernatural

Sirinivasa Ramanujan: Mathematical genius and the Supernatural

• Does knowledge come from ‘scientific’ reasoning only?

By Thamalu Maliththa Piyadigama

http://www.dailymirror.lk/article/Srinivasa-Ramanujan-Mathematical-genius-and-the-supernatural-143003.html

Prof. G.H.Hardy of Cambridge University went to Putney by a taxi to see off his student who was ill. While they were chatting, Hardy mentioned the number of the taxi he came – 1729 – which seemed to be a dull one to him. "No," the student suddenly replied, "it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways." Hardy was impressed and it later came to be known in the mathematical world as the Hardy-Ramanujan number.

Professor G.H. Hardy was one of the greatest mathematicians in the 20th century. But who was that extraordinary student that made him amazed? It was he who had each integer as his personal friend, the man who knew infinity! - Srinivasa Ramanujan.

Srinivasa Ramanujan was a prestigious Indian mathematician. A film based on his life story was released in 2015 called 'The man who knew infinity.'(The movie was based on a more interesting book on him by the same name written by Robert Kanigel.) It was 130 years this year since the birth of Ramanujan on December 22, 1887.

According to the movie, Srinivasa Ramanujan grew up in Madras in British India in utmost poverty. He went to the village Kovil and stayed there for long hours doing his own mathematical research. He was jobless. He went everywhere in Madras showing his books to everyone in order to find a job and to find a person who could understand his work. But he found neither. Everyone asked for recommendations. Then, he met Mr. Narayana, who was fascinated by Ramanujan's work and offered Ramanujan his own job as a clerk in the accounts department of his office. Narayana noticed that Ramanujan never used the abacus (At that time the abacus was the calculating machine). His mental calculations were faster than the abacus. Mr. Narayana's idea was that Ramanujan should show his work to British mathematicians. Therefore Ramanujan wrote to H.F. Baker and G.H. Hardy. H.F. Baker neglected the letter.

One day, while Prof. Hardy was in his room at Trinity College, University of Cambridge, his servant came to him with a letter which had come from very far. Hardy initially thought the letter was a hoax as it was from a Hindu clerk worked in an accounts department, but had given meanings to negative values of the gamma function. Hardy was sure it was from a fellow mathematician, J.E. Littlewood. Hardy was flabbergasted when Littlewood rejected this and read the letter carefully as it was full of theorems. Some are known and some are new. He concluded that this should be real because no one would have had the imagination to create such complex patterns otherwise. Prof. Littlewood also read this letter and was amazed. However no proofs were included. Thereafter they invited Ramanujan to Cambridge as a student in spite of the objections of some other lecturers.

Ramanujan who was married soon after he had the job refused to go to England at first since Brahmins were forbidden to cross the sea by Hindu tradition (Ramanujan was a Brahmin). Later he changed his mind and went to England. In England he had a hard time being a vegetarian. In Cambridge, Hardy and Ramanujan started their cooperative work. Hardy also had a hard time persuading Ramanujan that proofs are necessary. What Hardy needed were proofs. What Ramanujan couldn't understand was why western mathematicians were wasting their time for step by step deductions while the answer is already in hand. What he wanted was to publish his theorems. This clash of opinions was seen throughout their journey. At last, Hardy shared the burden of proving Ramanujan's work and they published some papers together.

While these developments were taking place in the calm atmosphere of Cambridge, violence flared up in distant parts of Europe. The World War I, as we name it now was taking shape. Not a single person could escape the impact of the war. Many people of Cambridge went to the front line. Professor Littlewood was also among them. Professor Hardy was involved in the peace movement by Bertrand Russell. Ramanujan had a hard time too. Being a vegetarian in England at that time was necessarily a difficult in a time of war. The film depicts a bombardment on Cambridge also. At that time Hardy revealed to Ramanujan that Littlewood had found that Ramanujan's prime number conjecture to be false. Hardy used this moment to persuade Ramanujan that proofs were essential. He said intuition only does not give a proper picture. Ramanujan was in for a shock when he heard all this. However after that he acquired some rigor in his work. Next time Ramanujan conjectured a new statement on partition function. Hardy and Ramanujan studied it further and published.

Ramanujan's health was not good at all. He had a severe bout of tuberculosis. But he did not stop his work. Hardy thought Ramanujan should be offered the fellowship of Trinity College of Cambridge. But the proposal was refused because he was an Indian. Then Hardy requested the Royal Society to offer Ramanujan a fellowship. They accepted it and Ramanujan became a fellow of RS (as the second Indian Fellow). Thereafter Trinity College offered him a fellowship too. Ramanujan had the last laugh. He was the first Indian fellow of Trinity College.

What amazed Prof. Hardy the most was how Ramanujan do all these things? Though he had put it to intuition he felt that mere intuition is not enough for such complex mathematical theorems. Ramanujan's answer for this question was something Hardy never expected. Ramanujan had acquired knowledge through Goddess Namagiri (a version of Goddess Kali). Namagiri would speak to him and offer him equations when he was in bed or saying prayers, Ramanujan would say. She was the source of knowledge in Ramanujan. It was very difficult to Hardy to accept this as an atheist.

"An equation for me has no meaning,"  Ramanujan once said, "unless it expresses a thought of God."

Finally Ramanujan went back to India, where his sickness became severe and the angel of death solved the equation of his life too early. Ramanujan's final notebook was found later and its calculations were used to analyze the characteristics of black holes later.

My above discription of Ramanujan is based on the movie. There is a little tension between the film and the actual life story. For example, Ramanujan had published some of his work in the Indian Mathematics Journal and had some appraisers even before he went to Britain. The way he learned mathematics in his early life was not depicted in the film. The film though contains many famous sayings of Ramanujan, Russel and Hardy. For instance Hardy once told Russell: "If I could prove by logic that you would die in five minutes, I should be sorry you were going to die, but my sorrow would be very much mitigated by the pleasure in the proof".

The story of Ramanujan inspires us to rethink about our ideas on the supernatural and religiosity. In contemporary society religion is commonly labeled as a backward force. People try to pretend they disbelieve in religion and supernatural phenomena to maintain their social status. Educated people who follow a religious life tend to only take it as a rational practice excluding all social and spiritual aspects of it. Superstitions, astrology and occult practices have been totally rejected from educated society. People who dabble with those ideas are portrayed as fools by the educated. When the famous "Arsenic experiment" was done by Dr. Nalin de Silva and the team some years back, educated people tried to reject the results by poking fun at ‘God Natha.’

However, the story of Ramanujan urges us to think otherwise. This great mathematician, Ramanujan, (uneducated by common educational standards) asks all those educated people to respect folk wisdom.

Summing up, I recall a story of another great scientific mind in the last century - Niels Bohr, one of the scientists who initiated quantum mechanics. He usually kept a horse shoe on his table while teaching. The Horseshoe in western culture is a symbol of luck. A student asked, "Sir, Do educated people like you also believe in these horse shoe things?"

Bohr retorted at once, "I don't think the horseshoe will be concerned whether you believe it or not."

        - Thamalu Maliththa Piyadigama 

තාත්වික විශ්ලේෂණය (Real Analysis): පාඩම් අංක 01

        තාත්වික විශ්ලේෂණය (Real Analysis)

අර්න්ස්ට් සර්මෙලෝ (Ernst Zermelo)

විශ්වවිද්‍යාල පළමු වසර සිසුන් ඇතුළු බොහෝ දෙනාගේ ඉල්ලීම මත තාත්වික විශ්ලේෂණය (real analysis) ගැන ලිපි පෙළක් ලියන්න හිතුවා. අපරිමේය සංඛ්‍යා (irrational numers) ද ඇතුළුව තාත්වික සංඛ්‍යා (real numbers) ගැන හැදෑරීම තාත්වික විශ්ලේෂණය කියලා කියනවා.

ගණිතයේ විධික්‍රමය (Method of Mathematics)

බටහිර යුදෙව් ක්‍රිස්තියානි සංස්කෘතිය රේඛීයයි (teleological). ලෝකය රේඛාවක් දිගේ විකාශනය වෙනවා වගේ දකිනවා. මේ බටහිර ගණිතයේ ඒ බව උපරිමව ම තියෙනවා.

ගණිතයේ ක්‍රියාකාරකම් දෙකක් අපිට මෙහෙම නම් කරන්න පුළුවන්.

1.සංකල්ප නිර්මාණය කිරීම,

2. සංකල්ප අතර සම්බන්ධතා දැක්වීම

අලුත් සංකල්පයක් නිර්මාණය කළොත් ඒක හඳුන්වා දෙන්න ඕනේ. ගණිතයේ දී නම් සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙන්න තියෙන ක්‍රමය අර්ථ දැක්වීම. ඒ කියන්නේ සංකල්පය වඩා සරල සංකල්පවලින් විස්තර කිරීම. ගණිතයේ අර්ථ දැක්වීමක් හැමවිට ම නම් හා නම්ම පමණක් කාරකයෙන් (if and only if operator) තමයි ලියැවෙන්නේ.

උදා: ඉරට්ට සංඛ්‍යාවක් නම් හා නම් ම පමණක් සංඛ්‍යාව දෙකෙන් බෙදේ.

ඉරට්ටේ නම් දෙකෙන් බෙදේ. දෙකෙන් බෙදේ නම් ඉරට්ටේ. 'නම් හා නම්ම පමණක්' දිග වැඩි නිසා අර්ථ දැක්වීම්වල 'නම්' කියලා විතරක් ලියන තැනුත් තියෙනවා. ඒත් තේරුම් ගන්න ඕනෙ අර්ථ දැක්වීමක 'නම් හා නම්ම පමණක්' අනිවාර්යයි. ඒ නිසා ඒ කෙටි කරලා ලියලා තියෙන්නේ ඒක ම තමයි කියල කියලා. ඒ වෙනුවට කෙටිකිරීම සඳහා 'යනු' කියන වචනය ලියන්න පුළුවන්. iff කියලා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්න පුළුවන් f අකුරු දෙකක් එක්ක.

උදා: x is even iff x is divided by 2.

දැන් සංකල්පයක් ඊට වඩා සරල සංකල්ප පාවිච්චි කරලා අර්ථ දක්වන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සරල සංකල්ප? ඒවා ඊටත් සරල සංකල්පවලින් අර්ථ දක්වන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සරල සංකල්ප......?

මේක ඉවරයක් වෙයි ද? කොතැනින් හරි නවත්තන්න වෙනවා. කොතනින් ද නවතින්න වෙන්නේ? ඉතාමත් සරලතම සංකල්පවලින් වෙන්න ඕනෙ.

බටහිර ගණිතඥයෝ මේක නැවැත්තුවේ කුලකය කියන සංකල්පයෙන්. ඒක තමයි සරලතම සංකල්පය කියලා බටහිර ගණිතඥයන්ට සලකන්න වුණේ. කුලකයට අර්ථ දැක්වීමක් දුන්නේ නෑ. ඊටත් වඩා සරල සංකල්ප නැත්නම්, කුලකය අර්ථ දක්වන්නේ මොනවා යොදා ගෙන ද?

එතකොට ඉස්කෝලේ ඉගැන්නුවේ අර්ථ දැක්වීමක් : කුලකයක් යනු අවයවවල හොඳින් අර්ථදැක්වූ එකතුවකි කියලා? ඔය අර්ථ දැක්වීම අද පිළිගන්නේ නෑ. කාන්ටර් (Canter) කියන ගණිතඥයා ඔය අර්ථ දැක්වීම මත හදපු ගණිතය එහෙම පිටින් 'පුපුරලා ගිහින්' විනාශ වුණා. මේ බෝම්බය එල්ල කළේ ගණිතඥයන් වන සර්මෙලෝ (Zermelo) හා රසල් (Russell).

 ඇත්තට ම කුලකය සරල සංකල්පයක් ද? හිතලා බලමු. මේකේ අග හරිය කියවද්දී හිතෙයි එහෙම නෙවෙයි කියලා. කොහොමත් බටහිර ගණිතය කියන්නේත් එක විදිහකින් පට්ටපල් බොරුවක් ම තමයි. වියුක්තකරණයක් (abstraction). මේවායේ මුලට ගිහා ම අර්බුද මතු වෙනවා. කොහොමවෙතත් වියුක්තය (abstract) ගැන මුලින් ම හරිහැටි විස්තර කිරීමක් කරපු Fredgeගේ සංඛ්‍යා පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමටත් රසල්ගේ බෝම්බයෙන් අභියෝග එල්ල වුණා.

මේ කුලකය මත පදනම් වීම උදාහරණයකින් තේරුම් ගනිමු. පටිපාටි ගත යුගලය (ordered  pair) කියන සංකල්පය ඔබ දන්නවා ඇති. (1,3) පටිපාටිගත යුගලයක්. මේකේ පිළිවෙළක් තියෙනවා. (1,3) හා (3,1) වෙනස් පටිපාටිගත යුගල දෙකක්. පටිපාටිගත යුගලයක් කියන්නේ මොකක් ද කියලා ඇහුවොත් ගණිතයේ දී කරන්න ඕනේ මොකක් ද? ඒ සංකල්පය කුලක ඇසුරෙන් අර්ථ දක්වන එක. ඉතින් පටිපාටිගත යුගලයක් ගණිතයේ අර්ථ දක්වන්නේ මෙහෙමයි.

(1,2) = {{1,2},{1}}

පටිපාටිගත යුගලයක් කියන්නේ කුලක දෙකක කුලකයක් කෙටි කොට ලිවීමක්. ඒකයි ගණිතයේ අර්ථ දැක්වීම. අවයව දෙක ම තියෙන කුලකයයි. එක් අවයවයක් විතරක් තියෙන කුලකයයි. අවයව දෙකක් අතරින් එක අවයවයකට විශේෂයෙන් සැලකීමක්. පටිපාටියක් කියන්නේ එහෙම එකක් නේ.

(2,1)={{2,1}, {2} } මේ දෙක වෙනස්. {1,2}={2,1} වුණත් (1,2) හා (2,1) අසමාන බව අපට පේනවා. පටිපාටිගත යුගල ඇතුළත් සියලු සම්බන්ධ මේ විදිහට කුලක යොදා ගෙන පැහැදිලි කරන්න පුළුවන්. මේක සරලව හඳුන්වාදීමක් ද වියවුලක් ද මම දන්නේ නෑ. ගණිතඥයෝ අර්ථ දැක්වීමක් කියන්නේ මේකට. අර්ථ දැක්වීම් කියන්නේ අවසාන අර්ථයෙන් කුලකවලට කරන ඌනනයක් (reduction).

ඊළඟ දේ සංකල්ප අතර සම්බන්ධතා. ඒවා ඔප්පු කරන්න ඕනෙ. ඔප්පු කරන්න පාවිච්චි කරන්න ඕනේ ඊට වඩා සරල සම්බන්ධතා. ඔප්පු කරපු සම්බන්ධය වැදගත් නම් ඒකට ප්‍රමේයයක් (Theorem) කියනවා. ප්‍රමේයයකින් එක පාර ම ගම්‍ය වෙන සම්බන්ධයක් නම් උපප්‍රමේයයක් (corollary) කියනවා. කිසියම් එක් ප්‍රමේයයක් සාධනය කිරීමට වැදගත්වන එහෙත් පොදුවේ ගත්විට එතරම් ම වැදගත් නොවන සම්බන්ධතාවලට උපසාධ්‍ය (lemma) කියනවා. තව ම ඔප්පු නො කළ ප්‍රකාශවලට ඌහන (conjecture) කියලා කියනවා.

හරි දැන් සම්බන්ධතා ඊට වඩා සරල ඒවායින් ඔප්පු කරන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සරල සම්බන්ධතා? ඒවා ඊටත් වඩා සරල සම්බන්ධතාවලින් ඔප්පු කරන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සම්බන්ධතා........... මේක කෙළවරක් වෙයි ද? මේක කෙළවරක් කරන්න වෙනවා. බටහිර ගණිතඥයෝ මෙහෙම ආපස්සට ආපස්සට ගිහින් අන්තිමට එන ඉතා ම සරල සම්බන්ධතාවලට කියුවා ස්වසිද්ධි (axiom) කියලා. Axiom සරල ම නිසා ඊට වඩා සරල ම ඒවා නෑ. ඉතින් ඒවා ඔප්පු කරන්න විදිහකුත් නෑ. තෝරා ගැනීමේ ස්වසිද්ධිය (Axiom of choice) වගේ එකක් ගත්තොත් හිතෙන්න පුළුවන් ස්වසිද්ධි ඇත්තට ම අතිශයින් සරල ද කියලා. ඒ ගැන කතා කිරීම ඉදිරියට ඉතුරු කරමු.

ගණිතයේ කුලක ඇත්තට ම තියෙනවායි කියලවත් ස්වසිද්ධි, ප්‍රමේයයන් ඇත්‍ත කියලාවත් කියන්නේ නෑ. ඒ වෙනුවට කියන්නෙ කුලක තියෙනවා නම් මේවාත් තියෙනවා.

මේ ස්වසිද්ධි හරි නම් මේ මේ සම්බන්ධතාත් හරි කියන එක විතරයි කියන්නේ.

මෙහෙම ඔප්පු නො කළ 'සරල' (?) දේ ඉඳලා අනෙක් දේට රේඛීයව ඔප්පු කරමින් යන ක්‍රමයට ස්වසිද්ධාත්මක විධික්‍රමය (axiomatic method) කියලා කියනවා. සමස්ත ගණිතය ම මේ විදිහට හදන්න ඩේවිඩ් හිල්බර්ට් ගණිතඥයා ව්‍යාපෘතියක් පටන් ගත්තා. ඒක ඉදිරියට ගෙන ගොස් සර්මෙලෝ හා ෆ්‍රැඑන්කල්ගේ කුලකවාදයත් රසල්ගේ Principia Mathematica ග්‍රන්ථයත් බිහිවුණා. ලෝකයේ පහළ වූ විශිෂ්ටතම ගණිතඥයා ලෙස සැලකෙන ගර්ඩ්ල් අවසානයේ දී ඔප්පු කළේ සමහර ගණිත පද්ධතිවල ඔප්පු නොකළ හැකි ගණිතමය සත්‍යයන් පවතින බව හා මේ සියල්ල ආවරණය වන ලෙස ස්වසිද්ධි සැකසුවහොත් එකිනෙකට පටහැනි ස්වසිද්ධි ලැබිය යුතු බව. ගණිතය අසම්පූර්ණ බව පෙන්වූ ගර්ඩ්ල්ගේ අසම්පූර්ණතා ප්‍රමේයයෙන් (Godel's Incompleteness Theorem) මේ ව්‍යාපෘතිය අසාර්ථක බව පෙන්වමින් නිමා වුණා.

බටහිර ගණිතයේ යොදා ගන්නේ ද්විකෝටික න්‍යාය (two valued logic). එක්කො සත්‍ය නැතිනම් අසත්‍ය. වෙනත් විකල්ප නෑ.

කාන්ටර් ඉදිරිපත් කරපු පාසලේ දී අප ඉගෙන ගන්නා කුලක අර්ථ දැක්වීම අසාර්ථක ඇයි?

කාන්ටර්ගේ බොළඳ කුලක වාදය (naive set theory) අනුව කුලකයක් කියන්නේ නිශ්චිතව අර්ථදැක්වූ අවයව සමූහයක්. අපි ඔය අර්ථකථනය මතකයේ තියාගෙන ඉස්සරහට යමු.

කුලකත් ගණිතයේ දෙවියා වගේ. සියල්ල කරන්න පුළුවන් දෙවියන් වහන්සේට පුළුවන් ද දෙවියන් වහන්සේට උස්සන්න බැරි තරම් ලොකු ගලක් මවන්න කියන ප්‍රශ්නය (omnipotence paradox) ඕගොල්ලෝ අහලා ඇති. දේවවාදයටත් ඉතින් මේකට උත්තර නම් තිබුණා. මේකේ ගණිතයට හරියන ආකාරය මොකක් ද? ඒකට තමයි රසල්ගේ විරුද්ධාභාසය (Russell's paradox) කියන්නේ. බර්ට්‍රන්ඩ් රසල්ට (Bertrand Russell) කලින් අර්න්ස්ට් සර්මෙලෝ (Ernst Zermelo) මේක ම කිව්වත් ඒක හරියට දැනගන්න ලැබුණේ ඩේවිඩ් හිල්බට් (David Hilbert) ගණිතඥයාටත්, හුසර්ල් (Husserl) කියන භාෂා දාර්ශනිකයාටත් විතරයි. ඒකයි මේක රසල්ගේ නමින් තියෙන්නේ.

මොකක් ද මේ රසල් විරුද්ධාභාසය. අපි බලමු. ඊට කලින් ප්‍රශ්නයක් අහන්නම්. අවයව ලෙස කුලක එකතු කරලා හදන කුලකත් තියෙන්න පුළුවන් බව ඔබ දන්නවා. මම අහන්නේ තමන් තමන්ගේ ම අවයවයක් වෙන කුලකයක් තියෙනවා ද කියන එක. (උපකුලකයක් කියලා නෙවෙයි අවයවයක් කියලයි ඇහුවේ.)

මේකට උත්තර දෙන්න අමාරු වෙයි.

හොඳයි එහෙම නොවෙන කුලකත් තියෙනවා ද? තමන් තමන්ගේම අවයවයක් නොවන කුලක තියෙනවා ද?

මේක ලේසි ප්‍රශ්නයක්. උත්තරය ඔව්. {1,2} කුලකය ගන්න. ඒකේ අවයව 1 හා 2. {1,2} ඒකේ අවයවයක් නෙවෙයි. තමන් තමන්ගේ අවයවයක් නොවෙන කුලක මේ වගේ ඕනෑ තරම්.

රසල් කියන්නේ මෙහෙම දෙයක්.

තමා තමාගේ ම අවයවයක් නොවන කුලක සියල්ල සලකන්න.

මේ ආකාරයේ සියලු කුලක ඇතුළත් කුලකය M ලෙස ගන්න. M කියන්නේ තමා තමාගේ ම අවයවක් නොවන කුලකවල කුලකයයි. ප්‍රශ්නය වන්නේ M, Mගේ ම අවයවයක් ද යන්නයි.

M, M කුලකයේ ම අවයවයක් නම් එය තමා තමාගේ අවයවයක් නොවන පරිදි කුලකයක් වේ.

M, M කුලකයේ අවයවයක් නොවේ නම් M තමා තමාගේ අවයවයක් නොවන පරිදි කුලකයකි. එනම් එය Mට අයත් වේ.

මේ අවස්ථා දෙක ම සම්පූර්ණයෙන් විසංවාදීයි. අපට පාසලේ ඉගන්වන කාන්ටර්ගේ බොළඳ කුලකවාදය මේ තර්කය හමුවේ සුණු විසුණු වී යනව. මීට විසඳුම කුමක් ද?

රසල් කීවේ විවිධ මට්ටම්වල කුලක ඇති බව ය. (One type, two type). One type කුලක රැසක් එක් කොට තනනුයේ Two type කුලකයකි. එවිට Two type කුලකවල අවයව වන්නේ one type කුලකය. එවිට රසල්ගේ විරුද්ධාභාසය (paradox) අවලංගු වී යනවා. එතකොට කිසි ම කුලකයකට තමාගේ ම අවයවයක් වෙන්න බෑ. Type එක වෙනස් නොවෙන නිසා. A කියන්නේ One type කුලකයක් නම් ඒක ඇතුළේ one type කුලකයක් වන A තියෙන්න බෑ. A තියෙන්න පුළුවන් two type කුලකයක්.

එහෙත් වර්තමානයේ හොඳින් පිළිගැනෙන්නේ සර්මෙලෝගේ තර්කයයි. ඔහු කීවේ x, Y කුලකයේ අවයවයක් නම් හා නම් ම පමණක් x, Y කුලකය ගොඩනැඟෙන ගතිලක්ෂණය තෘප්ත කරමින් තවත් Z නම් කිසියම් කුලකයක අවයවයක් වේ කියලයි.

ඒ කියන්නේ x,Yහි අවයවයක් වෙන්න නම් මුලින් x කුමක් හෝ Z කුලකයක අවයවයක් වෙලා ඉන්න ඕනේ. මේකේ අර්බුදය කුලකයක අවයවක් වීම කුලකයක අවයවයක් වීමෙන් ම විස්තර කරන එක. මේකෙදී තමන් තමන්ගේ ම අවයවක් වෙන කුලක තියෙන්න පුළුවන් ඒත් අර මුල කියපු M කුලකය එහි ම අවයවයක් නෙවෙයි. ඉතින් දැන් ඒ නිසා ම ඒක M කුලකයේ අවයවයක් වෙන්නේ නැද්ද? සර්මෙලෝට අනුව නම් නැහැ. මොකද සර්මෙලෝ කියනවා කුලකයක අවයවයක් වෙන්න නම් අදාළ ලක්ෂණය තෘප්ත කළාට ම මදි කිසියම් කුලකයක අවයවයක් වෙන්නත් ඕනේ කියලා. සර්මෙලෝ කියනවා. M, Mගේ විතරක් නෙවෙයි කිසි ම කුලකයක අවයවයක් නෙවෙයි කියලා. ඉතින් එහෙම එකකට කාගේවත් අවයවයක් වීමේ හැකියාව නෑ. මේකේ විහිලු සහගත බව වෙන්නේ ඕනෑ ම කුලකයක් කීවහම සලකන කුලකයත් ඇතුළත් එතකොට ඒකෙ අවයවයක් වීමෙන් ඒකෙ අවයවයක් වීමේ හැකියාව ලබා දෙනවා. අවසානයේ කුලක, ගණිතයේ සර්ව බලධාරී දෙවියන් බව අලුත් වටයකින් තහවුරු කොට කතා වස්තුව අහවර වෙනවා.

කෙසේ වෙතත් මේ අර්ථ දැක්වීම (ගැලවිජ්ජාව) රසල්ගේ විරුද්ධාභාසය මඟින් බිඳ හෙළිය නො හැකි එකක්. ඉතින් මෙතනින් බටහිර ගණිතය පටන් ගන්නවා.

නූතන බටහිර ගණිතය කුලක යනු කුමක් දැයි අර්ථ ගන්වා නැත. නමුත් ගණිතයේ පදනම ම ගොඩනැඟී ඇත්තේ කුලක මත ය. පටිච්ච සමුප්පාදයට සූත්‍ර හදන්න පුළුවන් කියන සබරගමුවේ ජර්මන් භාෂා කථිකාචාර්යවරු මේ අර්බුද විසඳගෙන ද ඉන්නේ?

මේක ඉවර කරන්න කලින් ආයේ අර ප්‍රශ්නය අහන්නම්. කුලක සරල ද?

                            - තමලු මලිත්ත පියදිගම

(උපුටා ගැනීමේ දී නම හා blog අඩවිය දැක්වීමට කාරුණික වන්න.)

             මීළඟ ලිපිය: තුල්‍යතාවය (equivalence )

එඬේර ගණිතය හා බටහිර ගණිතය

(2017.06.11. ඉරිදා රිවිර)

මිනිසුන් ගණන් කිරීම පටන් ගෙන ඇත්තේ එඬේර යුගයේ බව සඳහන් ය. එකල තමාගේ රංචුවේ සිටින සතුන් සංඛ්‍යාව ගණන් කර ගැනීමට ඔවුන්ට අවශ්‍ය විය. මීට ඔවුන් යෙදූ උපක්‍රමය වූයේ එක් සතාට එක ගලක් බැගින් තැබීමයි. එවිට ගලකට සතා බැගින් ගලපා රංචුවේ අඩුවක් ඇත් දැයි එඬේරකුට දැනගත හැකි විය.

පසුව ගණන් කිරීමට අත්වල හා පාවල ඇඟිලි භාවිත විය. ඒ කාර්යය සඳහා වචන භාවිත වූයේ ඊටත් කාලයකට පසුවයි. සංකේතවලින් සංඛ්‍යා දැක්වූවේ තවත් බොහෝ කාලයක් ගෙවුණු පසු ය.

අදටත් ඕස්ට්‍රේලියාවේ සමහර ගෝත්‍රවලට දෙකෙන් එපිටට ගණන් කළ නො හැකි ය. දහයෙන් එපිටට ගණන් කළ නො හැකි ගෝත්‍ර බොහෝ ය.

මුලින් ම බිහිවූයේ එක, දෙක , තුන , හතර , පහ....වැනි සංඛ්‍යා ය. මේ සංඛ්‍යා ගණින සංඛ්‍යා නම් වේ. මී ළඟට භාග සංඛ්‍යා ඇති විය.  භාග සංඛ්‍යාවක් ලියනු ලැබුවේ ගණින සංඛ්‍යා දෙකක බෙදීමක් ලෙසිනි.  මීළඟ වර්ධනය ඇති වූයේ පයිතගරස් ගුරුකුලය අතින් ය. පයිතගරස් මුලින් විශ්වාස කළේ ගණින සංඛ්‍යා සෑදුවේ දෙවියන් බවත් අනෙක් සියල්ල මිනිසුන් ගේ නිර්මාණ බවත් ය. (මෑත දී සිටි , ක්වොන්ටම් භෞතික විද්‍යාවේ ඉතා වැදගත් සංකල්පයක් නිර්මාණය කළ ක්‍රොනෙකර් ද කීවේ මෙවන් ම අදහසකි.)
පයිතගරස් ප්‍රමේයය ගැන ඔබ අසා ඇති. ඍජුකෝණික ත්‍රිකෝණයක බද්ධ පාද දෙකේ දිග ඒකක 1 බැගින් වන විට කර්ණයේ දිග 2හි වර්ගමූලය වේ. පයිතගරස් ගුරුකුලයේ සාමාජිකයන් උත්සාහ කළේ 2හි වර්ගමූලය භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලිවීමට ය. අවසානයේ පයිතගරස් ගුරු කුලයේ අයකු සාධනය කළේ 2හි වර්ගමූලය භාගයක් ලෙස ලිවිය නො හැකි බවයි.
මෙසේ ගණිතයට එක් වූ භාග ලෙස ලිවිය නො හැකි නව සංඛ්‍යා අපරිමේය සංඛ්‍යා නමින් හැඳින්වේ.

මීළඟට භාරතයේ මාධ්‍යමික මහායානිකයෝ ශුන්‍යතාව නමින් සංකල්පයක් ඉදිරිපත් කළ හ. කිසිවක් නැති තැනත් පැවැත්මක් ඇතැයි යන අදහස එහි දී කියවිණි. මේ සංකල්පය ශූන්‍යය වශයෙන් ගණිතයට එක් විය. හින්දු ගණිතඥයෝ එය තවත් සංවර්ධනය කළ හ. අරාබිය ඔස්සේ මෙය බටහිර ගණිතයට එක් විය. බටහිර ගණිතඥයින්ට ශූන්‍යය ප්‍රශ්නයක් විය. ඇපල් ගෙඩි නො තිබීම යනු ඇපල් ගෙඩි ශූන්‍යයක් තිබීම වීම ඔවුන්ට ප්‍රශ්නයක් විය. නො තිබීමක් තිබීමක් වීම ඔවුන්ට ප්‍රශ්නයක් විය. ඔවුන් මීට විසඳුම් දෙකක් ඉදිරිපත් කළ හ. එනම් ශුන්‍යය යනු අනෙක් ඕනෑ ම සංඛ්‍යාවකට එකතු කළ විට නැවත එම සංඛ්‍යාව ම ලබා දෙන සංඛ්‍යාව ලෙස අර්ථ දැක්වීම ය. අනෙක, සියලු සංඛ්‍යාවලට වඩා කුඩා ම සංඛ්‍යාව ලෙස අර්ථ දැක්වීම ය. පළමු වන විසඳුම අදටත් බටහිර ගණිතයේ ශුන්‍යයේ අර්ථ දැක්වීමයි. දෙවන විසඳුම සංශෝධනයක් සහිතව ප්‍රමේයයක් ලෙස ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ දී භාවිත වේ. භාරතයේ බිහි වූ ඍණ සංඛ්‍යා බටහිර ගණිතයට එක් වූයේ ධන සංඛ්‍යාවක් හා එකතු කළ විට ශූන්‍ය ලබා දෙන සංඛ්‍යා වශයෙනි. (භාරතයේ නම් ඍණ යන්නෙහි තේරුම ණය යන්න ය. ) මේ දළ විස්තරයෙන් කියැවෙන්නේ භාරතයෙන් යුරෝපයට සංඛ්‍යා ලබා ගත්තේ කෙළින් ම නොව ඒවායේ අර්ථ දැක්වීම් වෙනස් කිරීමෙන් පසු බව ය. භාරතයේ වෛදික ගණිතයත් බටහිර ගණිතයත් දෙකක් මිස එකක් නො වේ.

දැන් ගණින සංඛ්‍යා , භාග සංඛ්‍යා , අපරිමේය සංඛ්‍යා , ශූන්‍ය, ඍණ සංඛ්‍යා වශයෙන් සංඛ්‍යා බිහි කර තිබේ. මේ සියල්ල තාත්වික සංඛ්‍යා නම් වේ. සංඛ්‍යා බිහිව මෙපමණ කලක් ගත වුවද ඒවා අර්ථ දැක්වූයේ ඉතා මෑතක ය. ගණින සංඛ්‍යා අර්ථ දැක්වීමට පියනෝ  දැරූ අසාර්ථක උත්සාහය නැවතුණේ නව සාධන විධි ක්‍රමයක් (ගණිත අභ්‍යුහනය) හඳුන්වා දෙමිනි. අවසානයේ සාර්ථක වූයේ ගණිත දාර්ශනිකයකු වන බර්ට්‍රන්ඩ් රසල් ය. එය ගණින සංඛ්‍යා ගැන මුල් ම සාර්ථක අර්ථ දැක්වීමයි. තාත්වික සංඛ්‍යා අර්ථ දක්වන්නේ කෙසේ ද යන්න ද ගණිතඥයින්ට බැරෑරුම් ප්‍රශ්නයක් විය. තාත්වික සංඛ්‍යාවලට සාර්ථක අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දුන්නේ වෙයිස්ට්‍රාස් ය. ඔහු ගේ එක් අර්ථ දැක්වීමකට අනුව තාත්වික සංඛ්‍යාවක් යනු කුලක දෙකක එකතුවකි. සංඛ්‍යාවක් කුලක දෙකක් වෙන්නේ කෙසේ දැයි ඔබ විස්මපත් විය හැකි ය. එහෙත් බටහිර ගණිතයේ ස්වභාවය එබඳු ය. එබඳු දේ පවා විය හැකි ය. ඒවා තාර්කික ය.

එතැනින් නැවතුණේ නැත. ඍණ සංඛ්‍යාවලට වර්ගමූලයක් තිබේ ද යන්න ගණිතඥයින්ට ගැටලුවක් විය. අවසානයේ ගණිතඥයෝ ඍණ සංඛ්‍යාවලට වර්ගමූල නිර්මාණය කළ හ. ඒවා අතාත්වික සංඛ්‍යා නම් වේ. අතාත්වික සංඛ්‍යාවලට තාත්වික සංඛ්‍යා එකතු කොට සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නමින් ද සංඛ්‍යා විශේෂයක් බිහි කෙරිණි.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් අර්ථ දක්වා ඇත්තේ සමීකරණ කුලකයක් ලෙස ය. මේ ගැන ඔබ පුදුම විය හැකි වුව ද බටහිර ගණිතය එබඳු ය.

මේ වන විට බටහිර ගණිතය අපට ඉතා හුරු පුරුදු තැනකින් ඇරඹුණු සංඛ්‍යා අපේ අත්දැකීම්වලට ඉතා ඈත තැනකට ගෙන ගොස් ඇත. නූතන බටහිර ගණිතය යනු ග්‍රීක ගණිතයෙනුත් , භාරතීය වෛදික ගණිතයෙනුත් ඉතා වෙනස් වූවකි. බටහිර ගණිතයේ සැබෑ ස්වරූපය හඳුනා ගත හැක්කේ විශ්වවිද්‍යාල අධ්‍යයන මට්ටමේ ය. ඊට පහළ මට්ටම්වල දී බටහිර ගණිතය උගන්වන්නේ අංග සම්පූර්ණ ව නො වේ.' 0ට වඩා 1 විශාල ය ' යන්න ඔබ දෙවරක් නො සිතා පිළිගත්ත ද බටහිර ගණිතඥයා එය කියන්නේ පේළි ගණනාවක සාධනයකින් පසු ය.

                                   - තමලු මලිත්ත පියදිගම