තාත්වික විශ්ලේෂණය (Real Analysis): පාඩම් අංක 01

        තාත්වික විශ්ලේෂණය (Real Analysis)

අර්න්ස්ට් සර්මෙලෝ (Ernst Zermelo)

විශ්වවිද්‍යාල පළමු වසර සිසුන් ඇතුළු බොහෝ දෙනාගේ ඉල්ලීම මත තාත්වික විශ්ලේෂණය (real analysis) ගැන ලිපි පෙළක් ලියන්න හිතුවා. අපරිමේය සංඛ්‍යා (irrational numers) ද ඇතුළුව තාත්වික සංඛ්‍යා (real numbers) ගැන හැදෑරීම තාත්වික විශ්ලේෂණය කියලා කියනවා.

ගණිතයේ විධික්‍රමය (Method of Mathematics)

බටහිර යුදෙව් ක්‍රිස්තියානි සංස්කෘතිය රේඛීයයි (teleological). ලෝකය රේඛාවක් දිගේ විකාශනය වෙනවා වගේ දකිනවා. මේ බටහිර ගණිතයේ ඒ බව උපරිමව ම තියෙනවා.

ගණිතයේ ක්‍රියාකාරකම් දෙකක් අපිට මෙහෙම නම් කරන්න පුළුවන්.

1.සංකල්ප නිර්මාණය කිරීම,

2. සංකල්ප අතර සම්බන්ධතා දැක්වීම

අලුත් සංකල්පයක් නිර්මාණය කළොත් ඒක හඳුන්වා දෙන්න ඕනේ. ගණිතයේ දී නම් සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙන්න තියෙන ක්‍රමය අර්ථ දැක්වීම. ඒ කියන්නේ සංකල්පය වඩා සරල සංකල්පවලින් විස්තර කිරීම. ගණිතයේ අර්ථ දැක්වීමක් හැමවිට ම නම් හා නම්ම පමණක් කාරකයෙන් (if and only if operator) තමයි ලියැවෙන්නේ.

උදා: ඉරට්ට සංඛ්‍යාවක් නම් හා නම් ම පමණක් සංඛ්‍යාව දෙකෙන් බෙදේ.

ඉරට්ටේ නම් දෙකෙන් බෙදේ. දෙකෙන් බෙදේ නම් ඉරට්ටේ. 'නම් හා නම්ම පමණක්' දිග වැඩි නිසා අර්ථ දැක්වීම්වල 'නම්' කියලා විතරක් ලියන තැනුත් තියෙනවා. ඒත් තේරුම් ගන්න ඕනෙ අර්ථ දැක්වීමක 'නම් හා නම්ම පමණක්' අනිවාර්යයි. ඒ නිසා ඒ කෙටි කරලා ලියලා තියෙන්නේ ඒක ම තමයි කියල කියලා. ඒ වෙනුවට කෙටිකිරීම සඳහා 'යනු' කියන වචනය ලියන්න පුළුවන්. iff කියලා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්න පුළුවන් f අකුරු දෙකක් එක්ක.

උදා: x is even iff x is divided by 2.

දැන් සංකල්පයක් ඊට වඩා සරල සංකල්ප පාවිච්චි කරලා අර්ථ දක්වන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සරල සංකල්ප? ඒවා ඊටත් සරල සංකල්පවලින් අර්ථ දක්වන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සරල සංකල්ප......?

මේක ඉවරයක් වෙයි ද? කොතැනින් හරි නවත්තන්න වෙනවා. කොතනින් ද නවතින්න වෙන්නේ? ඉතාමත් සරලතම සංකල්පවලින් වෙන්න ඕනෙ.

බටහිර ගණිතඥයෝ මේක නැවැත්තුවේ කුලකය කියන සංකල්පයෙන්. ඒක තමයි සරලතම සංකල්පය කියලා බටහිර ගණිතඥයන්ට සලකන්න වුණේ. කුලකයට අර්ථ දැක්වීමක් දුන්නේ නෑ. ඊටත් වඩා සරල සංකල්ප නැත්නම්, කුලකය අර්ථ දක්වන්නේ මොනවා යොදා ගෙන ද?

එතකොට ඉස්කෝලේ ඉගැන්නුවේ අර්ථ දැක්වීමක් : කුලකයක් යනු අවයවවල හොඳින් අර්ථදැක්වූ එකතුවකි කියලා? ඔය අර්ථ දැක්වීම අද පිළිගන්නේ නෑ. කාන්ටර් (Canter) කියන ගණිතඥයා ඔය අර්ථ දැක්වීම මත හදපු ගණිතය එහෙම පිටින් 'පුපුරලා ගිහින්' විනාශ වුණා. මේ බෝම්බය එල්ල කළේ ගණිතඥයන් වන සර්මෙලෝ (Zermelo) හා රසල් (Russell).

 ඇත්තට ම කුලකය සරල සංකල්පයක් ද? හිතලා බලමු. මේකේ අග හරිය කියවද්දී හිතෙයි එහෙම නෙවෙයි කියලා. කොහොමත් බටහිර ගණිතය කියන්නේත් එක විදිහකින් පට්ටපල් බොරුවක් ම තමයි. වියුක්තකරණයක් (abstraction). මේවායේ මුලට ගිහා ම අර්බුද මතු වෙනවා. කොහොමවෙතත් වියුක්තය (abstract) ගැන මුලින් ම හරිහැටි විස්තර කිරීමක් කරපු Fredgeගේ සංඛ්‍යා පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමටත් රසල්ගේ බෝම්බයෙන් අභියෝග එල්ල වුණා.

මේ කුලකය මත පදනම් වීම උදාහරණයකින් තේරුම් ගනිමු. පටිපාටි ගත යුගලය (ordered  pair) කියන සංකල්පය ඔබ දන්නවා ඇති. (1,3) පටිපාටිගත යුගලයක්. මේකේ පිළිවෙළක් තියෙනවා. (1,3) හා (3,1) වෙනස් පටිපාටිගත යුගල දෙකක්. පටිපාටිගත යුගලයක් කියන්නේ මොකක් ද කියලා ඇහුවොත් ගණිතයේ දී කරන්න ඕනේ මොකක් ද? ඒ සංකල්පය කුලක ඇසුරෙන් අර්ථ දක්වන එක. ඉතින් පටිපාටිගත යුගලයක් ගණිතයේ අර්ථ දක්වන්නේ මෙහෙමයි.

(1,2) = {{1,2},{1}}

පටිපාටිගත යුගලයක් කියන්නේ කුලක දෙකක කුලකයක් කෙටි කොට ලිවීමක්. ඒකයි ගණිතයේ අර්ථ දැක්වීම. අවයව දෙක ම තියෙන කුලකයයි. එක් අවයවයක් විතරක් තියෙන කුලකයයි. අවයව දෙකක් අතරින් එක අවයවයකට විශේෂයෙන් සැලකීමක්. පටිපාටියක් කියන්නේ එහෙම එකක් නේ.

(2,1)={{2,1}, {2} } මේ දෙක වෙනස්. {1,2}={2,1} වුණත් (1,2) හා (2,1) අසමාන බව අපට පේනවා. පටිපාටිගත යුගල ඇතුළත් සියලු සම්බන්ධ මේ විදිහට කුලක යොදා ගෙන පැහැදිලි කරන්න පුළුවන්. මේක සරලව හඳුන්වාදීමක් ද වියවුලක් ද මම දන්නේ නෑ. ගණිතඥයෝ අර්ථ දැක්වීමක් කියන්නේ මේකට. අර්ථ දැක්වීම් කියන්නේ අවසාන අර්ථයෙන් කුලකවලට කරන ඌනනයක් (reduction).

ඊළඟ දේ සංකල්ප අතර සම්බන්ධතා. ඒවා ඔප්පු කරන්න ඕනෙ. ඔප්පු කරන්න පාවිච්චි කරන්න ඕනේ ඊට වඩා සරල සම්බන්ධතා. ඔප්පු කරපු සම්බන්ධය වැදගත් නම් ඒකට ප්‍රමේයයක් (Theorem) කියනවා. ප්‍රමේයයකින් එක පාර ම ගම්‍ය වෙන සම්බන්ධයක් නම් උපප්‍රමේයයක් (corollary) කියනවා. කිසියම් එක් ප්‍රමේයයක් සාධනය කිරීමට වැදගත්වන එහෙත් පොදුවේ ගත්විට එතරම් ම වැදගත් නොවන සම්බන්ධතාවලට උපසාධ්‍ය (lemma) කියනවා. තව ම ඔප්පු නො කළ ප්‍රකාශවලට ඌහන (conjecture) කියලා කියනවා.

හරි දැන් සම්බන්ධතා ඊට වඩා සරල ඒවායින් ඔප්පු කරන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සරල සම්බන්ධතා? ඒවා ඊටත් වඩා සරල සම්බන්ධතාවලින් ඔප්පු කරන්න ඕනේ. එතකොට ඒ සම්බන්ධතා........... මේක කෙළවරක් වෙයි ද? මේක කෙළවරක් කරන්න වෙනවා. බටහිර ගණිතඥයෝ මෙහෙම ආපස්සට ආපස්සට ගිහින් අන්තිමට එන ඉතා ම සරල සම්බන්ධතාවලට කියුවා ස්වසිද්ධි (axiom) කියලා. Axiom සරල ම නිසා ඊට වඩා සරල ම ඒවා නෑ. ඉතින් ඒවා ඔප්පු කරන්න විදිහකුත් නෑ. තෝරා ගැනීමේ ස්වසිද්ධිය (Axiom of choice) වගේ එකක් ගත්තොත් හිතෙන්න පුළුවන් ස්වසිද්ධි ඇත්තට ම අතිශයින් සරල ද කියලා. ඒ ගැන කතා කිරීම ඉදිරියට ඉතුරු කරමු.

ගණිතයේ කුලක ඇත්තට ම තියෙනවායි කියලවත් ස්වසිද්ධි, ප්‍රමේයයන් ඇත්‍ත කියලාවත් කියන්නේ නෑ. ඒ වෙනුවට කියන්නෙ කුලක තියෙනවා නම් මේවාත් තියෙනවා.

මේ ස්වසිද්ධි හරි නම් මේ මේ සම්බන්ධතාත් හරි කියන එක විතරයි කියන්නේ.

මෙහෙම ඔප්පු නො කළ 'සරල' (?) දේ ඉඳලා අනෙක් දේට රේඛීයව ඔප්පු කරමින් යන ක්‍රමයට ස්වසිද්ධාත්මක විධික්‍රමය (axiomatic method) කියලා කියනවා. සමස්ත ගණිතය ම මේ විදිහට හදන්න ඩේවිඩ් හිල්බර්ට් ගණිතඥයා ව්‍යාපෘතියක් පටන් ගත්තා. ඒක ඉදිරියට ගෙන ගොස් සර්මෙලෝ හා ෆ්‍රැඑන්කල්ගේ කුලකවාදයත් රසල්ගේ Principia Mathematica ග්‍රන්ථයත් බිහිවුණා. ලෝකයේ පහළ වූ විශිෂ්ටතම ගණිතඥයා ලෙස සැලකෙන ගර්ඩ්ල් අවසානයේ දී ඔප්පු කළේ සමහර ගණිත පද්ධතිවල ඔප්පු නොකළ හැකි ගණිතමය සත්‍යයන් පවතින බව හා මේ සියල්ල ආවරණය වන ලෙස ස්වසිද්ධි සැකසුවහොත් එකිනෙකට පටහැනි ස්වසිද්ධි ලැබිය යුතු බව. ගණිතය අසම්පූර්ණ බව පෙන්වූ ගර්ඩ්ල්ගේ අසම්පූර්ණතා ප්‍රමේයයෙන් (Godel's Incompleteness Theorem) මේ ව්‍යාපෘතිය අසාර්ථක බව පෙන්වමින් නිමා වුණා.

බටහිර ගණිතයේ යොදා ගන්නේ ද්විකෝටික න්‍යාය (two valued logic). එක්කො සත්‍ය නැතිනම් අසත්‍ය. වෙනත් විකල්ප නෑ.

කාන්ටර් ඉදිරිපත් කරපු පාසලේ දී අප ඉගෙන ගන්නා කුලක අර්ථ දැක්වීම අසාර්ථක ඇයි?

කාන්ටර්ගේ බොළඳ කුලක වාදය (naive set theory) අනුව කුලකයක් කියන්නේ නිශ්චිතව අර්ථදැක්වූ අවයව සමූහයක්. අපි ඔය අර්ථකථනය මතකයේ තියාගෙන ඉස්සරහට යමු.

කුලකත් ගණිතයේ දෙවියා වගේ. සියල්ල කරන්න පුළුවන් දෙවියන් වහන්සේට පුළුවන් ද දෙවියන් වහන්සේට උස්සන්න බැරි තරම් ලොකු ගලක් මවන්න කියන ප්‍රශ්නය (omnipotence paradox) ඕගොල්ලෝ අහලා ඇති. දේවවාදයටත් ඉතින් මේකට උත්තර නම් තිබුණා. මේකේ ගණිතයට හරියන ආකාරය මොකක් ද? ඒකට තමයි රසල්ගේ විරුද්ධාභාසය (Russell's paradox) කියන්නේ. බර්ට්‍රන්ඩ් රසල්ට (Bertrand Russell) කලින් අර්න්ස්ට් සර්මෙලෝ (Ernst Zermelo) මේක ම කිව්වත් ඒක හරියට දැනගන්න ලැබුණේ ඩේවිඩ් හිල්බට් (David Hilbert) ගණිතඥයාටත්, හුසර්ල් (Husserl) කියන භාෂා දාර්ශනිකයාටත් විතරයි. ඒකයි මේක රසල්ගේ නමින් තියෙන්නේ.

මොකක් ද මේ රසල් විරුද්ධාභාසය. අපි බලමු. ඊට කලින් ප්‍රශ්නයක් අහන්නම්. අවයව ලෙස කුලක එකතු කරලා හදන කුලකත් තියෙන්න පුළුවන් බව ඔබ දන්නවා. මම අහන්නේ තමන් තමන්ගේ ම අවයවයක් වෙන කුලකයක් තියෙනවා ද කියන එක. (උපකුලකයක් කියලා නෙවෙයි අවයවයක් කියලයි ඇහුවේ.)

මේකට උත්තර දෙන්න අමාරු වෙයි.

හොඳයි එහෙම නොවෙන කුලකත් තියෙනවා ද? තමන් තමන්ගේම අවයවයක් නොවන කුලක තියෙනවා ද?

මේක ලේසි ප්‍රශ්නයක්. උත්තරය ඔව්. {1,2} කුලකය ගන්න. ඒකේ අවයව 1 හා 2. {1,2} ඒකේ අවයවයක් නෙවෙයි. තමන් තමන්ගේ අවයවයක් නොවෙන කුලක මේ වගේ ඕනෑ තරම්.

රසල් කියන්නේ මෙහෙම දෙයක්.

තමා තමාගේ ම අවයවයක් නොවන කුලක සියල්ල සලකන්න.

මේ ආකාරයේ සියලු කුලක ඇතුළත් කුලකය M ලෙස ගන්න. M කියන්නේ තමා තමාගේ ම අවයවක් නොවන කුලකවල කුලකයයි. ප්‍රශ්නය වන්නේ M, Mගේ ම අවයවයක් ද යන්නයි.

M, M කුලකයේ ම අවයවයක් නම් එය තමා තමාගේ අවයවයක් නොවන පරිදි කුලකයක් වේ.

M, M කුලකයේ අවයවයක් නොවේ නම් M තමා තමාගේ අවයවයක් නොවන පරිදි කුලකයකි. එනම් එය Mට අයත් වේ.

මේ අවස්ථා දෙක ම සම්පූර්ණයෙන් විසංවාදීයි. අපට පාසලේ ඉගන්වන කාන්ටර්ගේ බොළඳ කුලකවාදය මේ තර්කය හමුවේ සුණු විසුණු වී යනව. මීට විසඳුම කුමක් ද?

රසල් කීවේ විවිධ මට්ටම්වල කුලක ඇති බව ය. (One type, two type). One type කුලක රැසක් එක් කොට තනනුයේ Two type කුලකයකි. එවිට Two type කුලකවල අවයව වන්නේ one type කුලකය. එවිට රසල්ගේ විරුද්ධාභාසය (paradox) අවලංගු වී යනවා. එතකොට කිසි ම කුලකයකට තමාගේ ම අවයවයක් වෙන්න බෑ. Type එක වෙනස් නොවෙන නිසා. A කියන්නේ One type කුලකයක් නම් ඒක ඇතුළේ one type කුලකයක් වන A තියෙන්න බෑ. A තියෙන්න පුළුවන් two type කුලකයක්.

එහෙත් වර්තමානයේ හොඳින් පිළිගැනෙන්නේ සර්මෙලෝගේ තර්කයයි. ඔහු කීවේ x, Y කුලකයේ අවයවයක් නම් හා නම් ම පමණක් x, Y කුලකය ගොඩනැඟෙන ගතිලක්ෂණය තෘප්ත කරමින් තවත් Z නම් කිසියම් කුලකයක අවයවයක් වේ කියලයි.

ඒ කියන්නේ x,Yහි අවයවයක් වෙන්න නම් මුලින් x කුමක් හෝ Z කුලකයක අවයවයක් වෙලා ඉන්න ඕනේ. මේකේ අර්බුදය කුලකයක අවයවක් වීම කුලකයක අවයවයක් වීමෙන් ම විස්තර කරන එක. මේකෙදී තමන් තමන්ගේ ම අවයවක් වෙන කුලක තියෙන්න පුළුවන් ඒත් අර මුල කියපු M කුලකය එහි ම අවයවයක් නෙවෙයි. ඉතින් දැන් ඒ නිසා ම ඒක M කුලකයේ අවයවයක් වෙන්නේ නැද්ද? සර්මෙලෝට අනුව නම් නැහැ. මොකද සර්මෙලෝ කියනවා කුලකයක අවයවයක් වෙන්න නම් අදාළ ලක්ෂණය තෘප්ත කළාට ම මදි කිසියම් කුලකයක අවයවයක් වෙන්නත් ඕනේ කියලා. සර්මෙලෝ කියනවා. M, Mගේ විතරක් නෙවෙයි කිසි ම කුලකයක අවයවයක් නෙවෙයි කියලා. ඉතින් එහෙම එකකට කාගේවත් අවයවයක් වීමේ හැකියාව නෑ. මේකේ විහිලු සහගත බව වෙන්නේ ඕනෑ ම කුලකයක් කීවහම සලකන කුලකයත් ඇතුළත් එතකොට ඒකෙ අවයවයක් වීමෙන් ඒකෙ අවයවයක් වීමේ හැකියාව ලබා දෙනවා. අවසානයේ කුලක, ගණිතයේ සර්ව බලධාරී දෙවියන් බව අලුත් වටයකින් තහවුරු කොට කතා වස්තුව අහවර වෙනවා.

කෙසේ වෙතත් මේ අර්ථ දැක්වීම (ගැලවිජ්ජාව) රසල්ගේ විරුද්ධාභාසය මඟින් බිඳ හෙළිය නො හැකි එකක්. ඉතින් මෙතනින් බටහිර ගණිතය පටන් ගන්නවා.

නූතන බටහිර ගණිතය කුලක යනු කුමක් දැයි අර්ථ ගන්වා නැත. නමුත් ගණිතයේ පදනම ම ගොඩනැඟී ඇත්තේ කුලක මත ය. පටිච්ච සමුප්පාදයට සූත්‍ර හදන්න පුළුවන් කියන සබරගමුවේ ජර්මන් භාෂා කථිකාචාර්යවරු මේ අර්බුද විසඳගෙන ද ඉන්නේ?

මේක ඉවර කරන්න කලින් ආයේ අර ප්‍රශ්නය අහන්නම්. කුලක සරල ද?

                            - තමලු මලිත්ත පියදිගම

(උපුටා ගැනීමේ දී නම හා blog අඩවිය දැක්වීමට කාරුණික වන්න.)

             මීළඟ ලිපිය: තුල්‍යතාවය (equivalence )